4. Integralrechnung


Symbolische Integration

Mathcad besitzt ein Paket zur symbolischen Integration. Geben Sie das Symbol für ein unbestimmtes Integral ein durch gleichzeitiges Drücken der Tasten CTRL und i. Hierfür kann auch das links abgebildete Untermenü der Rechenpalette benutzt werden. Füllen Sie die Platzhalter für den Integranden und die Integrationsvariable aus. Mit SHIFT und F9 wird die symbolische Auswertung vorgenommen. Eine derartige Berechnung zeigt Beispiel 4.1. Probieren Sie verschiedene Funktionen aus.
Natürlich kann man mit dieser Methodik auch bestimmte Integrale berechnen lassen. Das Symbol für ein bestimmtes Integral geben Sie mit dem Zeichen & ein oder wählen aus dem Untermenü das bestimmte Integral aus..

Numerische Integration

Viele Probleme der Physik erfordern die Berechnung von einfachen und mehrfachen Integralen. Anstelle der Ermittlung einer Stammfunktion (d.h. durch symbolische Integration) können diese Integrale auch mit numerischen Näherungsmethoden berechnet werden. Die Eingabe des Symbols für ein bestimmtes Integral erfolgt wiederum mit der Taste &. Numerische Auswertung dieses Ausdrucks wird mit dem Gleichheitszeichen = ausgelöst. Beispiel 4.2 behandelt eine einfache Funktion, deren Integral über ein vorgegebenes Intervall gesucht ist. Sie können die Integralgrenzen direkt eingeben oder, wie hier, Variable a und b benutzen, denen vorher Werte zugewiesen werden.

Da die Integrationsgrenzen Variable sein können und als Integrand selbst wieder ein Integral erlaubt ist, kann Mathcad auf einfache Weise Mehrfachintegrale auswerten. Hierzu zeigt Beispiel 4.3 die Berechnung der Fläche des Einheitskreises. Eine weitere Steigerung bildet die Berechnung des Kugelvolumens in Beispiel 4.4 als Dreifachintegral. Der Übersichtlichkeit wegen sind die geschachtelten Integrale in Klammern gesetzt worden.

Numerische Integration ist immer nur von endlicher Genauigkeit. Vergleichen Sie daher bei den vorgestellten beispielen das numerische Resultat mit der exakten Lösung.

Aufgaben


© 1999, Prof. Dr. A. Piel, IEAP Christian-Albrechts-Universität zu Kiel. Letzte Änderung: 30-12-99