5. Rekursive Definitionen


Die Bereichsvariablen in Mathcad können als Vektoren aufgefasst werden, bei denen auf einzelne Elemente der Bereichsvariablen mittels des Vektorindex zugegriffen werden kann. Im Unterschied zu Vektoroperationen, wie z.B. der Addition zweier Vektoren c:= a + b, bei denen in einem Schritt die zugehörigen Komponenten addiert werden:
c1:=a1+b1
c2:=a2+b2
c3:=a3+b3
kann man Bereichsvariable auch indexversetzt manipulieren. Hierzu dienen die folgenden Beispiele.

Einfache Progressionen

Beispiel 5.1 zeigt die Berechnung der Fakultäten natürlicher Zahlen im Bereich 1 bis 10. Wenn im Indexbereich eine Indexvariable auftaucht, der zuvor keine Konstante zugewiesen wurde, führt Mathcad die Berechnung für alle Indizes der Bereichsvariable aus. Dem ersten Index muß zu Beginn ein Startwert zugewiesen werden. Beispiel 5.2 funktioniert nach demselben Schema und berechnet die Fibonacci-Zahlen. Diese bilden eine Zahlenfolge, in der die nächste Zahl immer die Summe der beiden Vorgängerzahlen darstellt.

Die logistische Gleichung

Beispiel 5.3 stammt aus dem Bereich der Chaostheorie. Dort spielen iterierte Abbildungen eine besondere Rolle, indem diese als Modelle für dynamische Prozesse dienen und typische Verzweigungen des Lösungsverhaltens exemplarisch aufzeigen. In Beispiel 5.4 wird das Thema weiter verfolgt und das Lösungsverhalten als Funktion des Bifurkationsparameters grafisch dargestellt.

Integration von Differentialgleichungen mit dem Eulerverfahren

Die Iterationsschemata für Bereichsvariablen erlauben auch die numerische Integration von Differentialgleichungen mit Verfahren, die eine feste Schrittweite benutzen. Zur Einführung in diesen Themenbereich verwenden wir das EULER-Schema, das für Differentialgleichungen 1. Ordnung stabile Lösungen liefert. Genauere Verfahren diskutieren wir im
nächsten Kapitel. Wir beginnen in Beispiel 5.5 mit einem exponentiellen Wachstumsgesetz. Hieran können wir durch Vergleich mit der exakten Lösung die Entwicklung des Integrationsfehlers studieren. Beispiel 5.6 zeigt, daß in Sonderfällen der Integrationsfehler (aus Symmetriegründen) sehr klein sein kann. In Beispiel 5.7 verfolgen wir eine radioaktive Zerfallskette als Anwendung des EULER-Verfahrens für Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung. Die numerische Instabilität des EULER-Schemas für Differentialgleichungen 2. Ordnung zeigt Beispiel 5.8 exemplqrisch für den harmonischen Oszillator. Die Amplitude der Schwingung wächst mit der Zeit an.

Aufgaben


© 1999, Prof. Dr. A. Piel, IEAP Christian-Albrechts-Universität zu Kiel. Letzte Änderung: 21-11-99