6. Mechanik


Integration von Differentialgleichungen mit dem Runge-Kutta Verfahren

Der Euler-Algorithmus beruht auf der Extrapolation der lokalen Tangente am linken Randpunkt des Integrationsschritts.
Damit erzeugt das Euler-Verfahren einen Polygonzug, der sich systematisch von der wahren Lösungskurve entfernt. Man kann das Verfahren verbessern, indem man einen Zwischenschritt in der Mitte des Intervalls einführt und an dieser Stelle die mittlere Steigung im Intervall bestimmt, die dann zur Integration über das Intervall benutzt wird.
Mit diesem Trick kann der kumulative Fehler um eine Größenordnung geringer gehalten werden. Dieses Verfahren ist als Mittelpunktsmethode oder Runge-Kutta Verfahren 2. Ordnung bekannt. Ein Verfahren heißt von n-ter Ordnung, wenn das Fehlerglied von der Ordnung O(hn+1) ist. Somit ist das Euler-Verfahren von 1. Ordnung.


(links) Euler-Verfahren,         (rechts) Runge-Kutta 2. Ordnung

Das Arbeitspferd der Integration von Differentialgleichungen auf einem Raster mit fester Schrittweite ist das Runge-Kutta Verfahren 4. Ordnung. Dieses benutzt die Steigungen am Anfangs- und Endpunkt des Intervalls und wertet die Steigung im Mittelpunkt zweimal aus.

Anwendungen

Aufgaben


© 1999, Prof. Dr. A. Piel, IEAP Christian-Albrechts-Universität zu Kiel. Letzte Änderung: 27-12-99