7. Schwingungen


Der harmonische Oszillator

Harmonische Schwingungen entstehen, wenn in einem schwingungsfähigen System die Rückstellkraft proportional zur momentanen Auslenkung des Systems ist: Die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators (w0² =D/m) ist äquivalent zu dem System linearer Differentialgleichungen erster Ordnung: und kann mit dem Runge-Kutta Verfahren 4. Ordnung integriert werden. Beispiel 7.1 zeigt die Lösung des Anfangswertproblems für ein Federpendel mit Anfangsauslenkung x0 und Anfangsgeschwindigkeit v0=0 im Vergleich zwischen numerischer Integration und analytischer Behandlung.

Gedämpfte Schwingungen

Jetzt wird die Kraftgleichung um ein Reibungsglied (-kv) erweitert. In der Schwingungsgleichung erscheint ein geschwindigkeitsabhängiger Term (-kv) Beispiel 7.2: behandelt die gedämpfte Schwingung eines Pendels mit Anfangsauslenkung x0 und Anfangsgeschwindigkeit v0=0 . Durch Variation des Reibungskoeffizienten wird der Übergang vom Schwingfall durch den aperiodischen Grenzfall zum Kriechfall untersucht.

Erzwungene Schwingungen

Erweitert man die Kraftbilanz um eine externe periodische Antriebskraft F sin(wt), so lautet das Differentialgleichungssystem nunmehr:
  • Beispiel 7.3: Erzwungene Schwingung
  • Beispiel 7.4: Resonanz

    Aufgaben


    © 1999, Prof. Dr. A. Piel, IEAP Christian-Albrechts-Universität zu Kiel. Letzte Änderung: 28-12-99