8. Fourieranalyse


Reelle Fouriersynthese

Eine periodische Funktion im Intervall [0,2p] läßt sich in eine Fourierreihe nach trigonometrischen Funktionen entwickeln (harmonische Analyse).
Die Fourierreihe konvergiert im quadratischen Mittel gegen die periodische Funktion.

Berechnung von Fourierkoeffizienten

Die Fourierkoeffizienten ak und bk lassen sich mit folgenden Formeln berechnen:
Zu einer periodischen Funktion gehört also ein diskretes Spektrum, d.h. ein aus scharfen Spektrallinien (und deren Harmonischen) bestehendes Spektrum.

Schnelle Fouriertransformation (FFT)

Die Funktionen sin(kx) und cos(kx) bilden im Intervall [0, 2pi] ein vollständiges Funktionensystem. Alternativ können auch die komplexen Funktionen eikx und e-ikx verwendet werden. Diese sind mit den trigonometrischen Funktionen durch die Eulersche Beziehung verknüpft: Entsprechend kann die Fourierreihe mit den komplexen Exponentialfunktionen und komplexen Koeffizienten geschrieben werden.
Eine sehr schnelle Möglichkeit zur Berechnung dieser komplexen Fourierkoeffizienten bietet die schnelle Fouriertransformation (fast fourier transform = FFT). Vorausgesetzt wird nunmehr, daß die Funktion f(x) in Form von diskreten, äquidistanten Funktionswerten vorliegt, wobei die Anzahl ein Potenz von 2 sein sollte (typisch 256, 512, 1024 etc). Die FFT liefert auf einfachste Weise das Frequenzleistungsspektrum einer diskreten Zeitreihe von Meßwerten.
© 1999, Prof. Dr. A. Piel, IEAP Christian-Albrechts-Universität zu Kiel. Letzte Änderung: 29-12-99