Physikvorlesung SS 1999
Prof. Dr. A. Piel, IEAP, Christian-Albrechts-Universität zu Kiel
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Diskrete Dynamik


Die Einsicht, daß simple mathematische Modelle äußerst komplexes Verhalten erzeugen können, geht auf Robert May zurück, der sich mit der Populationsdynamik beschäftigte. Das einfachste Modell, die logistische Abbildung beschreibt die Entwicklung nichtüberlappender Generationen einer Spezies (z.B. Hasen) in einem Habitat (z.B. einem Kohlfeld).

Sei xn die Größe der Population in der Generation n, normiert auf die maximale Größe der Population. Dann ist die nachfolgende Generation gegeben durch

xn+1 = r xn (1 - xn)

Offensichtlich ist die Zahl der Nachkommen proportional zur Zahl der Eltern. Daneben beschreibt der Faktor in der Klammer die verbliebenen Ressourcen des Lebensraums. Wenn die Population den Maximalwert erreicht, erschöpfen sich die Ressourcen und die nächste Generation ist klein infolge Verhungerns.
Die Iteration zeigt die Entwicklung auf eine stabile Populationsgröße hin, die einen Fixpunkt der Periode 1 darstellt.
Bei erhöhtem Kontrollparameter r wird der ursprünglich stabile Fixpunkt am Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der Identitätsfunktion instabil und es ergibt sich eine Periodenverdopplung und die Population schwankt zwischen zwei verschiedenen Werten.
Die Zeitreihe zeigt die Periodizität 2. Weitere Erhöhung von r erzeugt die Perioden 4 (Bild), 8, 16 usw. in rasch zunehmender Sequenz
Trägt man die die Werte, die die Iteration der logistischen Abbildung nach Abklingen von anfänglichen Transienten annimmt, für jeden Wert des Kontrollparameters r auf der vertikalen Achse als Punkte auf, so erhält man das Bifurkationsdiagramm. Hierin erkennt man die Folge von Periodenverdopplungen, die in einem chaotischen Zustand enden. Der Bereich des Chaos ist durchsetzt mit Fenstern, in denen ein periodischer zustand erscheint, der selbst wiederum Periodenverdopplungen unterliegt.

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Erstellt: 25.7.99       Letzte Änderung: 25.7.99       AP