Fraktale
Die nichtlinearen Zustände vieler dynamischer Systeme verhalten sich
nichtperiodisch (chaotisch) und erzeugen im Phasenraum Objekte, die z.B. weder Linien
sind noch Flächen ausfüllen. Diese Objekte heißen
Seltsame Attraktoren. Man kann ihnen eine gebrochene
Dimension zuschreiben.
Der Dimensionsbegriff, mit dem derartige Objekte gemessen werden können,
ist die Hausdorffsche Kapazität. In einem d-dimensionalen Phasenraum
wird das Objekt mit d-dimensionalen Würfeln der Kantenlänge
s überdeckt. Sei N(s) das Minimum der Anzahl der dazu benötigten
Würfel. Dann wird die Hausdorff-Kapazität:
Man macht sich leicht an den Beispielen einer Strecke und eines Rechtecks klar, daß
die Hausdorff-Kapazität die Werte 1 und 2 ergibt, die unserem gewöhnlichen
geometrischen Dimensionsbegriff entspricht (Länge = 1, länge x Breite = 2).
Das einfachste fraktale Objekt, das eine Dimensionsberechnung erlaubt, ist die
Cantormenge.
Sie entsteht durch einen Prozeá, bei dem im ersten Schritt aus dem
Einheitsintervall [0,1] das mittlere Drittel entfernt wird. Im zweiten Schritt entfrent man aus der
Restmenge jeweils wieder das mittlere Drittel und setzt den Prozeß unendlich oft fort.
Im Endergebnis erhhät man eine Punktmenge, die nirgendwo zusammenhängend ist.
Die Dimension der Cantormenge ergibt sich wie folgt: Man überdecke die Menge mit
Intervallen der Länge (1/3)k. Im k-ten Schritt der Erzeugung
benötigt man dazu 2k Intervalle. Folglich wird die Dimension der Cantormenge
Viele dynamische Systeme zeigen fraktale Strukturen im Phasenraum. Ein Beispiel aus der
Plasmaphysik ist die
Pierce-Diode.
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